算法设计与分析【三】

算法很重要很重要很重要,各个方向均有应用。学习算法结合实例、可视化分析、多刷题但更重要的是理解本质

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一、分治介绍


转载:五大常用算法之一:分治算法

1、基本思想及策略

分治法的设计思想是:将一个难以直接解决的大问题,分割成一些规模较小的相同问题,以便各个击破,分而治之。

分治策略是:对于一个规模为n的问题,若该问题可以容易地解决(比如说规模n较小)则直接解决,否则将其分解为k个规模较小的子问题,这些子问题互相独立且与原问题形式相同,递归地解这些子问题,然后将各子问题的解合并得到原问题的解。这种算法设计策略叫做分治法。

如果原问题可分割成k个子问题,1<k≤n,且这些子问题都可解并可利用这些子问题的解求出原问题的解,那么这种分治法就是可行的。由分治法产生的子问题往往是原问题的较小模式,这就为使用递归技术提供了方便。在这种情况下,反复应用分治手段,可以使子问题与原问题类型一致而其规模却不断缩小,最终使子问题缩小到很容易直接求出其解。这自然导致递归过程的产生。分治与递归像一对孪生兄弟,经常同时应用在算法设计之中,并由此产生许多高效算法。

2、分治法适用的情况

分治法所能解决的问题一般具有以下几个特征:

​ 1) 该问题的规模缩小到一定的程度就可以容易地解决

​ 2) 该问题可以分解为若干个规模较小的相同问题,即该问题具有最优子结构性质

​ 3) 利用该问题分解出的子问题的解可以合并为该问题的解;

​ 4) 该问题所分解出的各个子问题是相互独立的,即子问题之间不包含公共的子子问题

第一条特征是绝大多数问题都可以满足的,因为问题的计算复杂性一般是随着问题规模的增加而增加;

第二条特征是应用分治法的前提它也是大多数问题可以满足的,此特征反映了递归思想的应用;、

第三条特征是关键,能否利用分治法完全取决于问题是否具有第三条特征,如果具备了第一条和第二条特征,而不具备第三条特征,则可以考虑用贪心法或动态规划法

第四条特征涉及到分治法的效率,如果各子问题是不独立的则分治法要做许多不必要的工作,重复地解公共的子问题,此时虽然可用分治法,但一般用动态规划法较好

3、分治法的基本步骤

分治法在每一层递归上都有三个步骤:

​ step1 分解:将原问题分解为若干个规模较小,相互独立,与原问题形式相同的子问题;

​ step2 解决:若子问题规模较小而容易被解决则直接解,否则递归地解各个子问题

​ step3 合并:将各个子问题的解合并为原问题的解。

它的一般的算法设计模式如下:

​ Divide-and-Conquer(P)

​ 1. if |P|≤n0

​ 2. then return(ADHOC(P))

​ 3. 将P分解为较小的子问题 P1 ,P2 ,…,Pk

​ 4. for i←1 to k

​ 5. do yi ← Divide-and-Conquer(Pi) △ 递归解决Pi

​ 6. T ← MERGE(y1,y2,…,yk) △ 合并子问题

​ 7. return(T)

其中|P|表示问题P的规模;n0为一阈值,表示当问题P的规模不超过n0时,问题已容易直接解出,不必再继续分解。ADHOC(P)是该分治法中的基本子算法,用于直接解小规模的问题P。因此,当P的规模不超过n0时直接用算法ADHOC(P)求解。算法MERGE(y1,y2,…,yk)是该分治法中的合并子算法,用于将P的子问题P1 ,P2 ,…,Pk的相应的解y1,y2,…,yk合并为P的解。

4、分治法的复杂性分析

5、可使用分治法求解的一些经典问题

(1)二分搜索

(2)大整数乘法

(3)Strassen矩阵乘法

(4)棋盘覆盖

(5)合并排序

(6)快速排序

(7)线性时间选择

(8)最接近点对问题

(9)循环赛日程表

(10)汉诺塔

6、依据分治法设计程序时的思维过程

实际上就是类似于数学归纳法,找到解决本问题的求解方程公式,然后根据方程公式设计递归程序。

1、一定是先找到最小问题规模时的求解方法

2、然后考虑随着问题规模增大时的求解方法

3、找到求解的递归函数式后(各种规模或因子),设计递归程序即可。

二、分治的练习


1、最大子数组问题

2、逆序对计数问题

3、第K个小的数次序选择问题

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